透過大自然的規律解說數學及其應用
課程開始2015-12-27
課程結束2016-02-06
課程費用免費
課程時數3小時/週
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開課單位中華大學 課程類別自然科學:化學、數學
課程說明

課程目標

  本課程之教學目標是希望修課同學能在上課過程中,以思考實驗的方式,引用大自然的規律,培養出以數學及科學方法解決工程問題的能力,教學內容會牽涉到「認識工程問題」、「數學模式的建立」、及「數學模式的解析」等。教學過程中,會讓修課同學瞭解「模式化(Modeling)」的觀念與方法,以及許多解析數學模式的技巧與觀念。

本課程的教學重點為:(1)如何透過自然律建立數學模式。(2)數學模式的解析。

  課程之內容包括「變數可分離之微分方程式的解析」、「正合微分方程式的解析」、「積分因子的應用」、「一階線性微分方程式的解析與應用」、「柏努力微分方程式的解析」、「二階線性微分方程式之基本性質」、「降階法的應用」、「常係數齊次線性微分方程式的解析與應用」、「常係數非齊次線性微分方程式的解析與應用」、「柯西-尤拉微分方程式的解析」和「高階暨聯立常係數微分方程式的解析」等。

註:授課內容會視情況略作調整。

教材

呂志宗,「工程數學(一)影音教學影片與講義」,中華大學開放式課程http://ocw.chu.edu.tw/,2015年10月31日。

先備知識

1. 基礎微積分

2. 基礎數學

學習評量方式

擬採線上測驗方式進行學習評量,每週給予約20~40題的是非題或選擇題,共計會出約160~200題的測驗題。六次的測驗題成績經加權平均後達60分者,即給予及格分數,並授予修課證書。提醒:本課程是以每週所給測驗進行評量,無作業要求。

授課進度及內容

主題

單元名稱

單元內容及教學素材

提要001:為什麼要學習工程數學?

利用實驗的方法,觀察與實際系統之變化有關的自然律,再將自然律改寫為微分方程式或積分方程式,並給與系統合適之初始條件(與時間有關之條件)及邊界條件(與空間有關之條件),而建立出問題之數學模式。此一過程稱為模式化。其中之微分方程式或積分方程式稱為數學模式中之控制方程式。

提要002:如何建立數學模式?(一)

已知化石中之放射性碳14的含量為初始含量的12.5%,試推估該化石的年齡?已知碳14之半衰期為5,730年。

提要003:如何建立數學模式?(二)

將100°C的銅球置於水溫恆保持為25°C之水中,3分鐘後,銅球的溫度降為70°C,試問何時銅球溫度降為26°C?

提要004:如何建立數學模式?(三)

已知100加侖的水槽中溶有20磅的鹽,若每分鐘有另一種濃度(每一加侖含2磅鹽)的鹽水5加侖流入水槽中,充分混合後,每分鐘水槽亦排出5加侖的鹽水,試求任意時刻t水槽中之鹽重。

提要005:如何建立數學模式?(四)

若睡前兩小時關掉暖氣系統,當時之室溫為28°C,關掉暖氣系統後兩個小時,室溫降為26°C,試問六個小時後(暖氣系統已關掉八個小時),室溫是多少?假設室外溫度恆維持在0°C。

提要006:如何建立數學模式?(五)

推算自由落體運動中,物體之移動距離與移動時間的關係。

提要007:認識五個專有名詞

認識微分方程式中之應變數(Dependent Variable)y僅與一個自變數(Independent Variable)x有關時,該微分方程式就是常微分方程式等等。

提要008:解一階ODE的第一個方法-直接積分法

若一階常微分方程式可表為:\(\frac{dy}{dx}=f(x)\),則可採用直接積分法推求其解。

提要009:解一階ODE的第二個方法-變數可分離之ODE的解法

若一階常微分方程式可表為等號左邊僅與應變數(Dependent Variable) y 有關,而等號右邊僅與自變數(Independent Variable) x 有關,亦即:\(g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)\),則可直接對 x 變數作積分。

提要010:解一階ODE的第三個方法-更換變數使成變數分離(1)

若微分方程式原來的型式為:\(\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \),則可做變數變換,將問題化簡為變數可分離的型式。

提要011:解一階ODE的第四個方法-更換變數使成變數分離(2)

若原來的微分方程式為:\(\frac{dy}{dx} = f[(ax+by+c)/(Ax+By+C)]\),且\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = k\),則可進行變數變換,將其表為變數分離的型式。

提要012:解一階ODE的第五個方法-正合微分方程式的解法

如何判斷\(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\)是否為正合微分方程式?

提要013:解一階ODE的第六個方法-非正合微分方程式的解法

若 \(P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\) 非正合微分方程式,則可乘以一個函數\(F(x,y)\),使得 \(FPdx + FQdy = 0\) 變成正合微分方程式,其中\(F(x,y)\)稱為積分因子(Integrating Factor)。

提要014:解一階ODE的第七個方法-一階線性微分方程的合併法

一階線性微分方程式的標準型式為:\(\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)\),上式每一項都乘以\(F(x)\)後,可得:\(F(x) \frac{dy}{dx} + F(x) p(x)y = F(x) r(x)\)。再令:\(F(x)p(x) = \frac{dF(x)}{dx}\),則可將微分方程式等號左邊的兩項合併為一項。

提要015:解一階ODE的第八個方法-Bernoulli方程式的解法

Bernoulli方程式的解題精神,是想辦法利用變數變換的觀念,將Bernoulli方程式簡化為一階線性微分方程式,再採用一階線性微分方程式的解題方法推求其解。

提要016:解一階ODE的第九個方法-Riccati方程式的解法

Riccati方程式包含非齊性項,而非齊性微分方程式之通解一定會包含齊性解和非齊性解兩部分,必須先找出Riccati方程式之非齊性解,才能進一步求出問題之齊性解。

提要017:解一階ODE的第十個方法-Clairaut方程式的解法

已知Clairaut方程式可表為:\(y = xy’ + g(y’)\),通常\(g(y’)\)中之\(y’\)並非以\(y’\)的正一次方存在,故\(g(y’)\)係屬於非線性項,亦為Clairaut方程式為非線性微分方程式。解析非線性微分方程式的方法並不是以積分的方式,而是採用微分,說明如下。

提要018:解一階ODE的第十一個方法-Picard循環積分方法

Picard 循環積分方法僅適用於初始值問題(Initial Value Problem),亦即微分方程之問題一定要給定初始條件,否則無法引用此法求解。

提要019:解一階ODE的第十二個方法-作圖法

一階常微分方程式一定可以表為\(y’ = f (x,y)\),在幾何意義上,\(y’\)代表斜率,只要能夠知道在\(xy\)平面上點\((x,y)\)之座標,則\(y’\)即可計算出來,亦即\(xy\)平面上,通過點\((x,y)\)之曲線的斜率可以計算出來。另外,曲線上任意點\((x,y)\)之曲線走向即為斜率方向,故只要能夠找出平面上代表性座標點之斜率,再以『短斜線』代表通過該點之斜率,最後應可繪出問題之解所代表的曲線圖。

提要020:如何推求正交軌跡?

正交軌跡(Orthogonal Trajectory)係指與原曲線族相互垂直的另一組曲線,其在霸基滲流量的計算上有很重要的應用。推求正交軌跡有兩個重要原則,說明如下:(1)先將曲線族 \(F(x,y;C) = 0\) 改寫為一階微分方程式。(2)考慮原曲線族之斜率與正交曲線族之斜率相乘等於−1。

提要021:認識非齊性微分方程之解

在討論二階線性常微分方程式時,常以下面之微分方程式加以表示:\(y’’ + p(x)y' + q(x)y = r(x)\),其中\(p(x)\)、\(q(x)\)稱為此微分方程式之係數(Coefficient);\(r(x)\)稱為此微分方程式之非齊性項(Non-homogeneous Term)。

提要022:認識重疊原理(Superposition Principle)

重疊原理是求線齊性微分方程式(Linear Homogeneous Differential Equation):\(y’’ + p(x)y' + q(x)y = 0\) 之解時的重要觀念。

提要023:二階常係數齊性ODE的解法(一)-相異實根

相異實根情況與相異複數根時之通解的解法,其觀念完全一樣,之所以會分為兩部分加以說明,主要是相異複數根時之通解可以利用「尤拉公式(Euler Formula)」加以化簡,其詳細情況,將於相異複數根時詳加說明。

提要024:二階常係數齊性ODE的解法(二)-重根

二階常係數齊性常微分方程式之標準型式如以下所示:\(y’’ + ay' + by = 0\),其中\(a\)、\(b\) 均為常數。此一類型之微分方程式,在工程力學上係與自由振動(Free Vibration)問題有關,在電學問題上係與電流問題有關。上式係自然界中之問題的化身,大自然的問題之解應與大自然的函數有關,此一問題所牽涉之大自然的函數為自然指數函數(Exponential Function),因此可考慮問題之解為:\(y = \exp(rx)\),其中 \(r\) 稱為特徵根,係待解之未知數。

提要025:二階常係數齊性ODE的解法(三)-複數根

產生複數根時之通解的解法與相異實根情況的觀念完全一樣,之所以會分為兩部分加以說明,主要是相異複數根時之通解可以利用「尤拉公式(Euler Formula)」加以化簡,其詳細情況說明如後。

提要026:認識微分運算子

微分運算子(Differential Operator)係微分運算或其組合,其所使用的符號並無規定,目的是盡量將繁複的微分式以簡單的型式加以表示。

提要027:為何要學習二階ODE問題?

在工程力學上,振動問題之運動方程式係表為:\(my’’ + cy' + ky = f(t)\),其中 \(m\) = 物體質量;\(c\) = 阻尼係數;\(k\) = 彈簧之彈性係數; \(f(t)\)= 作用於物體之外力。此一微分方程式即為二階之常微分方程式,對土木工程師之訓練而言,因需認識結構振動、土壤動力等振動問題,故有必要學習此一類型微分方程式的解析方法。

提要028:與大自然相關的數有那些?

與大自然相關的數有那些?目前在解題時, 與大自然相關的數中, 最常見的就是自然數\(e\),其值為2.718281828459…,且這是一個無循環小數的神奇數字。

提要029:如何建立自由振動問題的數學模式?

首先再介紹一次什麼是數學模式(Mathematical Model)。所謂的數學模式係指一組模擬實際問題的控制方程式(Governing Equation)、邊界條件(Boundary Condition)及初始條件(Initial Condition)等,其中的控制方程式係與問題主要相關之自然律的化身,工程分析時,能否掌握正確相關之主要自然律相當重要;另外,還需合理描述所分析問題的時空條件限制,其中與時間相關的條件稱為初始條件,與空間相關的條件稱為邊界條件。

提要030:自由振動問題的數學模式之解

已知自由振動問題之數學模式為:\(my’’+cy'+ky=0\),其解析過程說明如下。首先,大自然的振動問題之解應與大自然的函數有關,此一問題所牽涉之大自然的函數為自然指數函數(Exponential Function),因此可考慮問題之解為:\(y = \exp(rx)\),其中 r 為待解之未知數,稱為特徵根(Characteristic Root)。

提要031:認識Euler-Cauchy方程式的解法(一)-相異實根

Euler-Cauchy方程式係定義為:\(x^2y’’ + axy' + by = 0\),上式係變係數之齊性常微分方程式,然而只要作適當之變數變換,即可發覺其在本質上亦為常係數之齊性常微分方程式,說明如下。

提要032:認識Euler-Cauchy方程式的解法(二)-重根

Euler-Cauchy方程式係定義為:\(x^2y’’ + axy' + by = 0\),上式係變係數之齊性常微分方程式,然而只要作適當之變數變換,即可發覺其在本質上亦為常係數之齊性常微分方程式,說明如下。

提要033:認識Euler-Cauchy方程式的解法(三)-複數根

Euler-Cauchy方程式係定義為:\(x^2y’’ + axy' + by = 0\),上式係變係數之齊性常微分方程式,然而只要作適當之變數變換,即可發覺其在本質上亦為常係數之齊性常微分方程式,說明如下。

提要034:初始值問題之解的存在性與惟一性定理

所謂的初始值問題係指:

• 控制方程式:\(y’’ + p(x)y' +q(x)y = r(x)\)

• 初始條件:\(y(x_0) = K_0, y'(x_0) = K_1\)

若\(p(x)\)、\(q(x)\)、\(r(x)\)在定義域(Domain)中為連續函數,且 \(x_0\) 亦在定義域中,則此初始值問題之解存在且只有一個。

提要035:線性相關與線性獨立(一)

\(y_1\) 與 \(y_2\) 互為線性相關(Linear Dependence)與線性獨立(Linear Independence)的定義有三種,這裏先介紹第一種。

提要036:線性相關與線性獨立(二)

\(y_1\) 與 \(y_2\)  互為線性相關(Linear Dependence)與線性獨立(Linear Independence)的定義有三種,這裏介紹第二種。

提要037:線性相關與線性獨立(三)

\(y_1\) 與 \(y_2\) 互為線性相關(Linear Dependence)與線性獨立(Linear Independence)的定義有三種,這裏介紹第三種。

提要038:Wronskian的定義

先從最簡單的情況加以說明。兩個函數 \(y_1\) 與 \(y_2\)  之Wronskian 係定義為:

\(W(y_1,y_2) = ...\)。

提要039:二階非齊性ODE之通解

二階非齊性常微分方程式之標準型式如以下所示:

\(y’’ + p(x)y' +q(x)y = r(x)\)

其中\(p(x)\)、\(q(x)\)稱為微分方程式之係數(Coefficient);\(r(x)\)稱為微分方程式之非齊性項(Non-homogeneous Term)。這種包含非齊性項之非齊性微分方程式之通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要040:以待定係數法解析二階常係數非齊性ODE之特解(一)

二階常係數非齊性常微分方程式之標準型式如以下所示:

\(y’’ + ay' + by = r(x)\)

其中\(a\)、\(b\)稱為微分方程式之係數(Coefficient),且為常數;\(r(x)\)稱為微分方程式之非齊性項(Non-homogeneous Term)。這種包含非齊性項之非齊性微分方程式之通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要041:以待定係數法解析二階常係數非齊性ODE之特解(二)

二階常係數非齊性常微分方程式之標準型式如以下所示:

\(y’’ + ay' + by = r(x)\)

其中\(a\)、\(b\)稱為微分方程式之係數(Coefficient),且為常數;\(r(x)\)稱為微分方程式之非齊性項(Non-homogeneous Term)。這種包含非齊性項之非齊性微分方程式之通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要042:以待定係數法解析二階常係數非齊性ODE之特解(三)

二階常係數非齊性常微分方程式之標準型式如以下所示:

\(y’’ + ay' + by = r(x)\)

其中\(a\)、\(b\)稱為微分方程式之係數(Coefficient),且為常數;\(r(x)\)稱為微分方程式之非齊性項(Non-homogeneous Term)。這種包含非齊性項之非齊性微分方程式之通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要043:認識參數變換法

幾乎所有待定係數法(Undetermined Coefficient Method)解不出的滿足非齊性項(Non-homogeneous Term)之特解(Particular Solution),參數變換法(Variation of Parameters)都可以解得出來。

提要044:強制振動問題之數學模式

為清楚起見,首先仍再介紹一次什麼是數學模式(Mathematical Model)。所謂的數學模式係指一組模擬實際問題的控制方程式(Governing Equation)、邊界條件(Boundary Condition)及初始條件(Initial Condition)等,其中的控制方程式係與問題主要相關之自然律的化身,工程分析時,能否掌握正確相關之主要自然律相當重要;另外,還需合理描述所分析問題的時空條件限制,其中與時間相關的條件稱為初始條件,與空間相關的條件稱為邊界條件。

提要045:強制振動問題之數學模式的解

強制振動問題之數學模式的解析過程需分為兩個步驟,第一步是齊性解(Homogeneous Solution)的解析,第一步是非齊性解(Non-homogeneous Solution)的解析。

提要046:認識振動問題與電流問題之類比關係

強制振動問題與電流問題具有類比關係,應用表一所示之類比關係,可以電流試驗模擬振動試驗,這是一個相當重要的發現,因為有些很危險並昂貴的振動試驗,可以用安全、簡單且便宜的電流試驗取代之。

提要047:為何要學習高階ODE問題?

在工程力學上,有許多問題均與高階微分方程式有關。在土木工程之力學問題中,例如梁或板之振動問題為四階微分方程式,殼的問題為八階微分方程式等等即是。對土木工程師之訓練而言,板之振動問題或梁之變位問題均相當重要,故有必要學習高階微分方程式的解析方法。此外,工程力學的學習在機械工程、工程科學、造船工程、航太工程、車輛工程、以及玩具的設計製造等,均相當重要。

提要048:認識高階ODE之重疊原理(Superposition Principle)

高階之線齊性微分方程式的解可進行疊加之運算,此為相當重要之觀念,其內容說明如下。

提要049:高階初始值問題之解的存在性與惟一性定理

若高階初始值問題之係數與非齊性項在定義域中為連續函數,則此初始值問題之解存在且只有一個。

提要050:認識高階ODE之解的基底所對應的Wronskian

引用高階之線齊性微分方程式(Linear Homogeneous Differential Equation)的通解(General Solution)中之基底,可定義基底所構成的Wronskian。

提要051:高階常係數齊性ODE之通解(一)-相異實根

相異實根情況與相異複數根時之通解的解法,其觀念完全一樣,之所以會分為兩部分加以說明,主要是相異複數根時之通解可以利用尤拉公式(Euler Formula)加以化簡,其詳細情況,將於相異複數根時詳加說明。

提要052:高階常係數齊性ODE之通解(二)-重根

高階常係數齊性常微分方程式為自然界中之問題的化身,大自然的問題之解應與大自然的函數有關,此一問題所牽涉之大自然的函數為自然指數函數(Exponential Function),因此可考慮問題之解為:\(y = \exp(rx)\)。

提要053:高階常係數齊性ODE之通解(三)-複數根

相異複數根情況與相異實根時之通解的解法,其觀念完全一樣,之所以會分為兩部分加以說明,主要是相異複數根時之通解可以利用尤拉公式(Euler Formula)加以化簡,其詳細情況,說明於後。

提要054:以待定係數法解析高階常係數非齊性ODE之特解(一)

高階常係數非齊性常微分方程式若包含非齊性項,則其通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要055:以待定係數法解析高階常係數非齊性ODE之特解(二)

高階常係數非齊性常微分方程式若包含非齊性項,則其通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要056:以待定係數法解析高階常係數非齊性ODE之特解(三)

高階常係數非齊性常微分方程式若包含非齊性項,則其通解(General Solution)會出現兩部分:齊性解(Homogeneous Solution)跟非齊性解(Non-homogeneous Solution)。

提要057:以參數變換法解析高階非齊性ODE之特解

幾乎所有待定係數法(Undetermined Coefficient Method)解不出的滿足非齊性項(Non-homogeneous Term)之特解(Particular Solution),參數變換法(Variation of Parameters)都可以解得出來。

提要058:認識聯立ODE問題

許多問題均會牽涉聯立微分方程式,例如,在土木工程中,若擬解析二層樓房的振動問題,則所建立之樓板的運動方程式即呈聯立之型式。

提要059:聯立齊性ODE的解法(一)-讓一個方程式只包含一個未知數

齊性微分方程式的解法,之前已介紹過很多次,常見的大致上有兩類,一類是常係數齊性微分方程式,另一類是Euler-Cauchy方程式。本單元所介紹之聯立齊性微分方程式,則與常係數齊性微分方程式有關。

提要060:聯立齊性ODE的解法(二)-矩陣解法(相異根)

本單元擬介紹相異根時,聯立齊性微分方程式之矩陣解法。

提要061:聯立齊性ODE的解法(三)-矩陣解法(重根)

本單元擬介紹重根時,聯立齊性微分方程式之矩陣解法。

提要062:聯立非齊性ODE之非齊性解的解法(一)-讓一個方程式僅含一個未知數

因之前讀者已相當熟悉單獨一個常係數非齊性微分方程式的解析方法,所以若能將聯立非齊性微分方程式化簡為一個方程式只包含一個未知數的話,就可以方便的繼續引用以前的解析方法了。

提要063:聯立非齊性ODE之非齊性解的解法(二)-矩陣解法(非齊性項與齊性解不重複)

本單元之討論,相當於之前在介紹如何以待定係數法(Undetermined Coefficient Method)解析常係數微分方程式之非齊性解時,所引用之基本原則(Basic Rule)。

提要064:聯立非齊性ODE之非齊性解的解法(三)-矩陣解法(非齊性項與齊性解重複時)

本單元之討論,相當於之前在介紹如何以待定係數法(Undetermined Coefficient Method)解析常係數微分方程式之非齊性解時,所引用之修正的原則(Modification Rule)。

提要065:聯立非齊性ODE之非齊性解的解法(四)-矩陣解法(參數變換法)

本單元擬介紹如何以參數變換法解析問題之非齊性解。可根據單一微分方程式之參數變換法的精神,建立出聯立微分方程式之參數變換法的基本公式。

提要066:特徵向量的解法(一)-相異特徵根

很多出題目的老師不是給聯立之微分方程式,而只會給一個 A 矩陣,然後需要考生求出其所對應之特徵根(Eigenvalue)及特徵向量(Eigenvector)。

提要067:特徵向量的解法(二)-特徵根有重根

在之前相異特徵根的討論中,都是一個特徵根(Eigenvalue)對應一組與特徵向量(Eigenvector)相關之代數方程式,並可由該組代數方程式,解析出所對應之特徵向量。但是在某些情況下,當特徵根出現重根時,會出現必須由一組方程式決定兩組以上之特徵向量。其實讀者只要知道一個秘訣,就可以解決這一個困擾。

 

課程講者
呂志宗

經歷

系主任中華大學土木工程學系(2015/02/01~至今)

教授中華大學土木工程學系(2014/08/01~至今)

副教授中華大學土木工程學系(1991/08/01~2014/07/31)

學歷

學士:國立成功大學土木工程學系(1980/09~1984/06)

碩士:國立成功大學土木工程研究所(1984/09~1986/06)

博士:國立成功大學土木工程研究所(1986/09~1991/05)